Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học. Việc tính toán được chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số.

Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phân và được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện (electrical engineering). Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside.

Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI

Giải phương trình vi phân

Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử

Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ

d N d t = − λ N {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N} (1)N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị phân rã ở thời điểm t(s)

λ {\displaystyle \lambda } : hằng số phân rã

Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này

Từ (1) ta có

d N d t + λ N = 0 {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}+\lambda N=0}

Thực hiện biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương trình

( s N ~ ( s ) − N o ) + λ N ~ ( s )   =   0 {\displaystyle \left(s{\tilde {N}}(s)-N_{o}\right)+\lambda {\tilde {N}}(s)\ =\ 0}

Với N ~ ( s ) = L { N ( t ) } {\displaystyle {\tilde {N}}(s)={\mathcal {L}}\{N(t)\}}

N o   =   N ( 0 ) . {\displaystyle N_{o}\ =\ N(0).}

Giải phương trình ta có

N ~ ( s ) = N o s + λ . {\displaystyle {\tilde {N}}(s)={N_{o} \over s+\lambda }.}

Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về miền t

N ( t )   = L − 1 { N ~ ( s ) } = L − 1 { N o s + λ } {\displaystyle N(t)\ ={\mathcal {L}}^{-1}\{{\tilde {N}}(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {N_{o}}{s+\lambda }}\right\}}

Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

Ví dụ này dựa vào lý thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit)

Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t

i R ( t ) = V R ( t ) R {\displaystyle i_{R}(t)={\frac {V_{R}(t)}{R}}}

i C ( t ) = C . d V C ( t ) d t {\displaystyle i_{C}(t)=C.{\frac {dV_{C}(t)}{dt}}}

V L ( t ) = L . d i L ( t ) d t {\displaystyle V_{L}(t)=L.{\frac {di_{L}(t)}{dt}}}

Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t

Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s

V R ( s ) = R . I ) ( s ) {\displaystyle V_{R}(s)=R.I)(s)}

V L ( s ) = s . L . I ( s ) − L . I o {\displaystyle V_{L}(s)=s.L.I(s)-L.I_{o}}

V C ( s ) = 1 s C I ( s ) + V o s {\displaystyle V_{C}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)+{\frac {V_{o}}{s}}}

Với I ( s ) = L i ( t ) {\displaystyle I(s)={\mathcal {L}}{i(t)}} , V ( s ) = L v ( t ) {\displaystyle V(s)={\mathcal {L}}{v(t)}}

I o = i ( 0 ) {\displaystyle I_{o}=i(0)} : dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L

V o = V C ( 0 ) {\displaystyle V_{o}=V_{C}(0)} : điện áp ban đầu qua tụ điện C

Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0

Z ( s ) = V ( s ) I ( s ) | V o = 0 . {\displaystyle Z(s)={V(s) \over I(s)}{\bigg |}_{V_{o}=0}.}

Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC

Z R ( s ) = R {\displaystyle Z_{R}(s)=R}

Z L ( s ) = s . L {\displaystyle Z_{L}(s)=s.L}

Z C ( s ) = 1 s C {\displaystyle Z_{C}(s)={\frac {1}{sC}}}

Hàm truyền

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau:

Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập

Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với

h ( t ) = A e − α t cos ⁡ ( ω d t − ϕ d ) {\displaystyle h(t)=Ae^{-\alpha t}\cos(\omega _{d}t-\phi _{d})} (1)

ω d t − ϕ d ≥ 0 {\displaystyle \omega _{d}t-\phi _{d}\geq 0}

0 ≤ ϕ d ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \phi _{d}\leq 2\pi } : sự trễ pha

Ta biến đổi (1)

h ( t ) = A e − α t cos ⁡ [ ω d ( t − t d ) ] ⋅ u ( t − t d ) {\displaystyle h(t)=Ae^{-\alpha t}\cos \left[\omega _{d}(t-t_{d})\right]\cdot u(t-t_{d})}

Với t d = ϕ d ω d {\displaystyle t_{d}={\phi _{d} \over \omega _{d}}} : thời gian trễ của hệ và u(t) là hàm bước Heaviside.

Hàm truyền H(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi Laplace đối với hàm h(t)

H ( s )   =   L { h ( t ) } = A e − s t d ( s + α ) ( s + α ) 2 + ω d 2 {\displaystyle H(s)\ =\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}=Ae^{-st_{d}}{(s+\alpha ) \over (s+\alpha )^{2}+\omega _{d}^{2}}}

=   A e − s t d ( s + α ) ( s 2 + 2 α s + α 2 ) + ω d 2 {\displaystyle =\ Ae^{-st_{d}}{(s+\alpha ) \over (s^{2}+2\alpha s+\alpha ^{2})+\omega _{d}^{2}}}

=   A e − s t d ( s + α ) ( s 2 + 2 α s + ω 0 2 ) {\displaystyle =\ Ae^{-st_{d}}{(s+\alpha ) \over (s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2})}}

với ω 0 = α 2 + ω d 2 {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\alpha ^{2}+\omega _{d}^{2}}}} là tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

Phương pháp khai triển thừa số riêng phần

Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền

H ( s ) = 1 ( s + α ) ( s + β ) {\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}}

h ( t ) = L − 1 { H ( s ) } {\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}} : biến đổi Laplace ngược của hàm truyền H(s)

Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần

H ( s ) = 1 ( s + α ) ( s + β ) = P ( s + α ) + R ( s + β ) {\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over (s+\alpha )}+{R \over (s+\beta )}}

P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta dùng đồng nhất thức

s + α s + β = P ( s + β ) + R ( s + α ) ( s + α ) ( s + β ) {\displaystyle {\frac {s+\alpha }{s+\beta }}={\frac {P(s+\beta )+R(s+\alpha )}{(s+\alpha )(s+\beta )}}}

Từ đây suy ra

P = 1 ( s + β ) | s = − α = 1 ( β − α ) {\displaystyle P=\left.{1 \over (s+\beta )}\right|_{s=-\alpha }={1 \over (\beta -\alpha )}}

và

R = 1 ( s + α ) | s = − β = 1 ( α − β ) = − 1 ( β − α ) = − P {\displaystyle R=\left.{1 \over (s+\alpha )}\right|_{s=-\beta }={1 \over (\alpha -\beta )}={-1 \over (\beta -\alpha )}=-P}

Thay vào H(s) ta tìm được

H ( s ) = ( 1 β − α ) ⋅ ( 1 ( s + α ) − 1 ( s + β ) ) {\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over (s+\alpha )}-{1 \over (s+\beta )}\right)}

Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)

h ( t ) = L − 1 { H ( s ) } = 1 β − α ( e − α t − e − β t ) {\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right)}

Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ

Hàm thời gian	Biến đổi Laplace
e − α t [ cos ⁡ ( ω t ) + ( β − α ω ) sin ⁡ ( ω t ) ] u ( t ) {\displaystyle e^{-\alpha t}\left[\cos {(\omega t)}+\left({\frac {\beta -\alpha }{\omega }}\right)\sin {(\omega t)}\right]u(t)}	s + β ( s + α ) 2 + ω 2 {\displaystyle {\frac {s+\beta }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}}

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace X ( s ) = s + β ( s + α ) 2 + ω 2 {\displaystyle X(s)={\frac {s+\beta }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}}

Ta tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt hằng số vào tử số

X ( s ) = s + α ( s + α ) 2 + ω 2 + β − α ( s + α ) 2 + ω 2 {\displaystyle X(s)={\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\beta -\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}}

Dựa vào định lý dịch chuyển ta có

x ( t ) = e − α t L − 1 { s s 2 + ω 2 + β − α s 2 + ω 2 } {\displaystyle x(t)=e^{-\alpha t}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}+{\beta -\alpha \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}}

= e − α t L − 1 { s s 2 + ω 2 + ( β − α ω ) ( ω s 2 + ω 2 ) } {\displaystyle =e^{-\alpha t}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}+\left({\beta -\alpha \over \omega }\right)\left({\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}\right)\right\}} = e − α t [ L − 1 { s s 2 + ω 2 } + ( β − α ω ) L − 1 { ω s 2 + ω 2 } ] {\displaystyle =e^{-\alpha t}\left[{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}+\left({\beta -\alpha \over \omega }\right){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}\right]}

Cuối cùng, dùng biến đổi Laplace cho hàm sin và cos, ta thu được x ( t ) = e − α t [ cos ⁡ ( ω t ) u ( t ) + ( β − α ω ) sin ⁡ ( ω t ) u ( t ) ] {\displaystyle x(t)=e^{-\alpha t}\left[\cos {(\omega t)}u(t)+\left({\frac {\beta -\alpha }{\omega }}\right)\sin {(\omega t)}u(t)\right]}

x ( t ) = e − α t [ cos ⁡ ( ω t ) + ( β − α ω ) sin ⁡ ( ω t ) ] u ( t ) {\displaystyle x(t)=e^{-\alpha t}\left[\cos {(\omega t)}+\left({\frac {\beta -\alpha }{\omega }}\right)\sin {(\omega t)}\right]u(t)}

Sự trễ pha

Hàm thời gian	Biến đổi Laplace
sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle \sin(\omega t+\phi )}	s sin ⁡ ϕ + ω cos ⁡ ϕ s 2 + ω 2 {\displaystyle {\frac {s\sin \phi +\omega \cos \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}}
cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle \cos {(\omega t+\phi )}}	s cos ⁡ ϕ − ω sin ⁡ ϕ s 2 + ω 2 {\displaystyle {\frac {s\cos \phi -\omega \sin \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}}

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace

X ( s ) = s sin ⁡ ϕ + ω cos ⁡ ϕ s 2 + ω 2 {\displaystyle X(s)={\frac {s\sin \phi +\omega \cos \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}}

Suy ra

X ( s ) = s sin ⁡ ϕ s 2 + ω 2 + ω cos ⁡ ϕ s 2 + ω 2 {\displaystyle X(s)={\frac {s\sin \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}}

= ( sin ⁡ ϕ ) ( s s 2 + ω 2 ) + ( cos ⁡ ϕ ) ( ω s 2 + ω 2 ) {\displaystyle \,\,\,\,\,\,=(\sin \phi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+(\cos \phi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)}

Thực hiện biến đổi ngược cho X(s), ta có

x ( t ) {\displaystyle x(t)\,\!}	= ( sin ⁡ ϕ ) L − 1 { s s 2 + ω 2 } + ( cos ⁡ ϕ ) L − 1 { ω s 2 + ω 2 } {\displaystyle {}=(\sin \phi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+(\cos \phi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}}
	= ( sin ⁡ ϕ ) ( cos ⁡ ω t ) + ( sin ⁡ ω t ) ( c o s ϕ ) . {\displaystyle {}=(\sin \phi )(\cos \omega t)+(\sin \omega t)(cos\phi ).\,\!}

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác (trigonometric identity) a sin ⁡ ω t + b cos ⁡ ω t = a 2 + b 2 ⋅ sin ⁡ ( ω t + arctan ⁡ ( b / a ) ) {\displaystyle a\sin \omega t+b\cos \omega t={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin \left(\omega t+\arctan(b/a)\right)}

Ta suy ra

x ( t ) {\displaystyle x(t)\,\!}	= cos 2 ⁡ ϕ + sin 2 ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ( ω t + arctan ⁡ ( sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ) ) {\displaystyle {}={\sqrt {\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi }}\cdot \sin \left(\omega t+\arctan \left({\frac {\sin \phi }{\cos \phi }}\right)\right)}
	= sin ⁡ ( ω t + ϕ ) . {\displaystyle {}=\sin(\omega t+\phi ).\,\!}

Tương tự ta cũng nhận được

L − 1 { s cos ⁡ ϕ − ω sin ⁡ ϕ s 2 + ω 2 } = cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \phi -\omega \sin \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\phi )}}